MPA S2 algèbre Responsable : Christine Huyghe Contrôle Continu du 25 mars 2013. Durée : 2h.

Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits : les documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique (calculatrice, ...).

Dans tout le texte sera un corps.

1. Cours. Les énoncés sont demandés ici sans démonstration (4pt).

1- Donner la définition d’une famille libre _{1} _{}de vecteurs dans un -

espace vectoriel . 2- Donner la définition d’un sous-espace vectoriel , d’un espace vectoriel ,

sur un corps . 3- Soient un -espace vectoriel, _{1}, _{2} deux formes linéaires sur . A quelle

condition est-ce que _{1} = _{2} ? Quand deux hyperplans de sont-ils égaux ?

4- Soient , deux -espaces vectoriels de dimension finie, et : une

application linéaire. Enoncer le théorème du rang.

2. Cours. (4pt). Soit : une application linéaire entre deux espaces vectoriels sur . Rappeler la définition de , rappeler la définition du fait qu’une application est injective. Montrer que est injective si et seulement si = 0 .

3. QCM. (4pt). Les réponses ne doivent pas être justifiées.

1- Lesquels des sous-ensembles suivants forment un sous-espace vectoriel de ℝ^{3} ?

A : (  )  3 = 0
B : (  )  3 = 8
C : (  )  ^{2} 3 = 0
D : (  )  3 = 8

2- Laquelle de ces familles forme une base de ℂ^{3} ?

A : (1 1) ( 1 0 1)
B : (1 2 ) ( 1 1 0) (1 1 1 + )
C : (1 2 ) ( 1 1 0) (1 + 0 2 )
D : ( 0 0) (1 0 0) (1 0) (0 0 1)

3- Soit l’application linéaire : ℝ^{3} ℝ^{2} dont la matrice dans les bases canoniques respectives de ℝ^{3} et de ℝ^{2} est

= ; ; ; \begin{matrix}1 & 3 \\ 4 & 4 \\ 5 & 8 \end{matrix} ; ; ;

Quelle affirmation parmi celles ci-dessous est exacte ? A : ( ) = 2 et ( ) = 1, B : n’est pas surjective, C : est surjective, mais pas injective, D : ( ) = 1 et ( ) = 1.

4- Soit un -espace vectoriel de dimension 3, et ( _{1} _{2} _{3}) une base de . Soit ( ) tel que

 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; \begin{aligned}( _{1}) & = _{1} 3 _{2} + 4 _{3} \\ ( _{2}) & = _{2} _{3} \\ ( _{3}) & = 5 _{1} + 2 _{2} _{3} \end{aligned}

Quelle est, parmi les matrices ci-dessous, celle qui est la matrice de dans la base ( _{1} _{2} _{3}) ?

= ; ; ; \begin{matrix}1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} ; ; ; = ; ; ; \begin{matrix}5 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} ; ; ; = ; ; ; \begin{matrix}1 & 0 & 5 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{matrix} ; ; ;

4. Exercice 1 (3pt).

1- Soit l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique ( ) de ℝ^{3} est :

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ; ; ;

1- Déterminer ( 3 + 5 ). 2- Déterminer Ker . En donner une base. La matrice est-elle inversible ?

Justifier votre réponse. 3- Déterminer Im . Donner d’abord sa dimension puis une base.

5. Exercice 2 (6pt). Soient l’espace vectoriel sur ℝ des fonctions de classe ^{}: [0 2 ] ℝ. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par les fonctions _{1} = sin , _{2} = cos , _{3} = sin(2 ), et _{4} = cos(2 ),

= sin + cos + sin(2 ) + cos(2 ) ℝ

On pourra admettre les résultat précédents pour résoudre une question.

1- Montrer que la famille ( _{1} _{2} _{3} _{4}) est une base de . 2- Pour , on pose ( ) = ^{}, la dérivée de . Montrer que est une

application linéaire : et que la matrice de dans la base ( _{1} _{2} _{3} _{4}) est :

= ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

3- Déterminer le rang de . En déduire que est un isomorphisme de et que

= 0 . Est-ce normal ? 4- Calculer ^{2}. Montrer que ( ^{2} + )( ^{2} + 4 ) = 0. En déduire une expres-

sion de l’inverse de en fonction de . Qu’est-ce que cela signifie quand on veut intégrer une fonction du type sin + cos + sin(2 ) + cos(2 ) ?